《程序员的数学》读书笔记

Posted on May 3, 2017

这是我阅读程序员的数学后的读书笔记


向量

  • 数量积/点积

    a·b=a1b1+a2b2+……+anbn 返回值是一个标量

    使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵,点积还可以写为:a·b=a*b^T

  • 向量加法: 同维向量, 对应数值相加, 结果是等维向量.

  • 正交向量

    如果两个或多个向量,它们的点积为0,那么它们互相称为正交向量.

    记为α⊥β显然若α⊥ββ⊥α

    一个向量组中的向量两两正交,则称之为正交向量组

  • 特征向量

    如果向量v与变换A满足 Av=λv, 则:

    • 向量v是变换A的一个特征向量
    • λ是相应的特征值
    • 这一等式被称作特征值方程
  • 线性相关

  • 线性无关: 无法通过线性组合形成彼此, 除非都乘以零

矩阵

矩阵就是线性空间中的映射(线性变换), m*n的矩阵表示n维空间m维空间的一个映射, 在一个线性空间中, 只要我们选定一组基, 那么任何一线性变换, 都可以用一个确定的矩阵来描述.

同时矩阵也可以是一组基的描述.

特殊矩阵

  • 方阵: 元素分对角元素和非对角元素
  • 零矩阵: 所有元素都是0的矩阵, 记做O. 表示将所有点映射到原点.
  • 单位矩阵: 方阵中, 左上到右下的对角元素是1, 其余都是0, 则叫单位矩阵, 记为I. 表示什么都不做的映射
  • 对角元素: 方阵中, 非对角元素全为0. 记做diag(a1, a2....an). 表示沿坐标轴伸缩的映射. 对角元素是各个轴伸缩的倍率
  • 逆矩阵: 方阵中, 若Ay=x, 则(A^-1)x=y, 逆矩阵表示还原映射的映射, A(A^-1)=I
  • 相似矩阵: 若P^(-1)*A*P=B 则A和B是相似矩阵, 相似矩阵是同一个线性变换的不同的描述矩阵.

矩阵的运算:

  • 矩阵乘积: 映射的合成, 满足结合律: C(BA)=(CB)A 不满足交换律: AB不一定等于BA
  • 方阵乘方: AA=A^2 AAA=A^3 乘方运算优于加减乘除 *

运算性质

  • 如果 Ax=Bx 对任意向量x成立, 则 A=B. 映射相同则向量相同

空间

空间: 容纳运动(可变换)的一个对象集合, 变换规则对应空间里的运动

重点: 集合, 变换

常见空间: 线性空间, 拓扑空间, 仿射空间

向量空间/线性空间/矢量空间

集合: 在选定基后, 向量表示任何对象

线性变换: 矩阵是线性空间里的变换(映射)的描述, 矩阵和向量的乘积表示进行映射.

向量本身可以看成是n*1的矩阵, 一个空间中的对象和运动可以用相同的方式表示! 这个巧合和线性空间中很多性质相关

基: 看做线性空间的坐标系


参考资料